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[M2] 有冇大神可以解答下 integration in trigo sub

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有冇大神可以解答下 integration in trigo sub



點解 in 1+(1+u^2)
let tan theta = u
當u= -1 個theta 一定要係 -pi/4 而唔可以係3pi/4 其他quadrant 的sol

[ 本帖最後由 hihihkppl 於 2019-3-27 02:46 PM 編輯 ]
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回覆 1# hihihkppl 的帖子

如果你仲記得條tangent curve就會明白
tan(pi/2)係正/負無限大
如果你已經set theta=pi/4 when u=1
咁你又set theta=3pi/4 when u=-1
係pi/4至3pi/4之間條curve斷左你可以點in呢?

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引用:
原帖由 ehbb 於 2019-3-27 05:36 PM 發表
如果你仲記得條tangent curve就會明白
tan(pi/2)係正/負無限大
如果你已經set theta=pi/4 when u=1
咁你又set theta=3pi/4 when u=-1
係pi/4至3pi/4之間條curve斷左你可以點in呢?
明白,咁如果好似呢個咁係Let x= sin theta 呢
result 應該係 1.57 但如果let theta 係3pi/2 就會最後錯正負

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tyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

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引用:
原帖由 hihihkppl 於 2019-3-28 02:27 PM 發表


明白,咁如果好似呢個咁係Let x= sin theta 呢
result 應該係 1.57 但如果let theta 係3pi/2 就會最後錯正負

52858
有冇人解答下

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其實你可以睇返最初題目要求
人地都係問0至pi
而且係sin @/[1+(cos @)^2] d@
你係可以let x = tan @
從而得出個range由3pi/2至pi/2或者-pi/2至pi/2

當然你問題就係得出正負號分別
但係你有冇發覺如果你講由3pi/2至pi/2
其實已經係跟由0去pi相反方向?

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個post 都好多日,唔知你解決左未。我即管講下我H意見。

呢個表面上係積分問題,但其實係函數性質問題。

呢題積分用到H三角函數代換其實係有前提/假設的。首先條 Definite Integral H Range/Direction of Integration 係有方向同數值範圍的,係由-1到+1,我地想用一個三角函數去代換題中的 x,我地揀H呢個函數唔能夠違返題目設定H方向。

具體黎講 x 呢個變數由-1增加到+1係 strictly increasing ,咁我地亦只能代換一個 strictly increasing H函數。問題就黎喇,我地想用H Sin[\theta] 係個周期性函數,一時 increasing 一時 decreasing,所以我地要透過設定 \theta H取值範圍黎令到 Sin[\theta] 在呢個 Range 入面係表現出 strictly increasing H性質。

參考下 Sin[\theta] H圖你會發現符合條件H範圍其實有好多:例如一般教科書用H -Pi/2到+Pi/2,又或者,3Pi/2到+5Pi/2。但若你取H範圍係由Pi/2到3Pi/2,佢係相反:一個 strictly decreasing H Period。

可能你會話你正係利用積分有方向呢個性質,由3Pi/2積返去Pi/2,咁呢個方向就係嚴格上升,最後個答案應該一樣,你計到多左個負,可能問題出在拆絕對值符號:

原本應該係咁:
Integrate[ Sqrt[1-x^2], -1, 1]
=Integrate[ Abs[ Cos[ \theta] ] Cos[ \theta], -Pi/2, Pi/2]
=Integrate[ Cos[ \theta] ^2, -Pi/2 Pi/2]

如果咁計:
Integrate[ Sqrt[1-x^2], -1, 1]
=Integrate[ Abs[ Cos[ \theta] ] Cos[ \theta], 3Pi/2, Pi/2]
=Integrate[ - Cos[ \theta] ^2, 3Pi/2 Pi/2]
= - Integrate[ Cos[ \theta] ^2, 3Pi/2, Pi/2]

在呢個range 入面 Cos[ \theta] 係負數,第一個 Cos[ \theta] 取絕對值要加負號先啱。

你可能唔係多左個負,係少左個負,負負得正先係正確答案。

利申:好耐無計數,希望我H概念無錯。(伸脷)

[ 本帖最後由 carnotsincos 於 2019-4-7 05:09 PM 編輯 ]

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