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[M2] 救教 M2 Differentiation

救教 M2 Differentiation

Q89.
It's given that (1+x)^n=nC0+nC1x+nC2x^2+...+nCnx^n....(*)
Where n is a  positive integer
By differentiating both  sides of(*)with respect to x,find the value of 100C1-2 100C2+3 100C3+...-100 100C100

Q90
Consider the geometric sequence
1,(x-1)^3,(x-1)^6,(x-1)^9,...,(x-1)^3n
Where 1<x<2 and n is a non-negative integer
Let S(n)=1+(x-1)^3+(x-1)^6+(x-1)^9+...+(x-1)^3n
a) Express S(lim) in terms of x
b)Let T(n)=3/2^2+6/2^5+9/2^8+...+3n/2^(3n-1)
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[隱藏]
Q89
個指示好清楚啦, 叫你兩邊Differentiate一次,
你只要知道d(x+1)^n/dx=? 就做到, 你做唔到再問,
做完之後你已經得到個好似答案既式, 但係有x係入面,
x可以代任何數字, 咁你諗下代咩入去好, 諗唔到再問

Q90
a) 記唔記得geometric sequence有條式有個ratio r既,
你let r=(x-1)^3, 睇下自己做唔做到, 做唔到先問

b) 梗係同a)個答案有關啦,
但係個coefficient同個index都同a)條式唔同喎,
每一個coefficient岩岩好係個原先條式對應位置既index*1/2
每個index又岩岩好係對應位置既index-1,
就好似x^3同3x^2既關係咁, 咁有咩關係呢? 諗唔到先問~

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Re: 89, 90a)

89. Given that
﹒ ﹒ ﹒ C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n = (1 + x)^n
differentiate both sides
﹒ ﹒ ﹒ 1C(n, 1) + 2C(n, 2)x + 3C(n, 2)x^2 + ... + nC(n, n)x^(n - 1) = n(1 + x)^(n - 1)
put n = 100, x = -1
﹒ ﹒ ﹒ 1C(100, 1) - 2C(100, 2) + 3C(100, 2) + ... - 100C(100, 100) = 0 §


90. a) By using the sum of G.S.
﹒ ﹒ ﹒ S(n) = 1 + (x - 1)^3 + (x - 1)^6 + (x - 1)^9 + ... + (x - 1)^(3n)
﹒ ﹒ ﹒ = 1 + [(x - 1)^3] + [(x - 1)^3]^2 + [(x - 1)^3]^3 + ... + [(x - 1)^3]^n
﹒ ﹒ ﹒ = [1 - (x - 1)^(3n + 3)]/[1 - (x - 1)^3]
since 0 < x - 1 < 1
﹒ ﹒ ﹒ S(∞) = (1 - 0)/[1 - (x - 1)^3] = 1/[1 - (x - 1)^3] §

b) 問題不全,抱歉解答不了,另未知3/2^2是指(3/2)^2還是其他?

[ 本帖最後由 peterkcc2015 於 2015-8-18 04:35 PM 編輯 ]
P.Chan

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B,
3n÷[2^(3n-1)]



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Re: 90b)

b) Since
﹒ ﹒ ﹒ 1 + (x - 1)^3 + (x - 1)^6 + (x - 1)^9 + ... + (x - 1)^(3n)
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒ = [1 - (x - 1)^(3n + 3)]/[1 - (x - 1)^3]
differentiate both sides
﹒ ﹒ ﹒ 3(x - 1)^2 + 6(x - 1)^5 + 9(x - 1)^8 + ... + 3n(x - 1)^(3n - 1)
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒ = [3(x - 1)^2][1 - (n + 1)(x - 1)^(3n) + n(x - 1)^(3n + 3)]/{ [1 - (x - 1)^3]^2 }
put x = 3/2
﹒ ﹒ ﹒ T(n) = 3/(2^2) + 6/(2^5) + 9/(2^8) + ... + 3n/[2^(3n - 1)]
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒ = (6/49)×[8 - (7n + 8)/(8^n)] §

[ 本帖最後由 peterkcc2015 於 2015-8-20 02:57 AM 編輯 ]
P.Chan

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其實我覺得做數最有滿足感既地方係自己解到個題目出黎, 而唔係直接睇到答案,
下下直接比個解出黎, 咁問既人咪冇得自己諗?

長期食答案會令思考僵化, 咩都想直接有答案, 失去驗算能力

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引用:
原帖由 Patchouli 於 2015-8-19 02:16 PM 發表
其實我覺得做數最有滿足感既地方係自己解到個題目出黎, 而唔係直接睇到答案,
下下直接比個解出黎, 咁問既人咪冇得自己諗?

長期食答案會令思考僵化, 咩都想直接有答案, 失去驗算能力
老師是對的,辛苦了。

[ 本帖最後由 peterkcc2015 於 2015-8-19 08:24 PM 編輯 ]
P.Chan

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