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[Maths] maths好難的題喲

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maths好難的題喲

a/cosA=b/cosB=c/cosC

prove that triangle ABC is equilateral

[ 本帖最後由 hahaBrian 於 2010-4-25 11:05 AM 編輯 ]
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Proof by contradiction

Assume that △ABC is not equilateral
Therefore, at least one ∠ is > 60° and at least one ∠ is < 60°
Let B < 60° and C > 60°
∵ B < C and cos B > cos C
∴ b/cos B < c/cos C
contradict with given condition b/cos B = c/cos C
∴ △ABC is equilateral

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a/sinA=b/sinB=c/sinC (sine formula)    ------(1)
a/cosA=b/cosB=c/cosC (given)          ------(2)

(1)/(2)
tanA=tanB=tanC
Under the constraint A>0, B>0, C>0 and A+B+C=180, we have
A=B=C
so triangle ABC is equilateral

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CCCCCCCCC

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Alternate solution:
a/cosA=b/cosB=c/cosC
By cosine formular:
a/b^2+c^2-a^2/2bc=b/a^2+c^2-b^2/2ac=c/a^2+b^2-c^2/2ab
Solving the equation, we have:
a=b and b=c
By definition, triangle ABC is equilateral

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