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## 終極MI(已修正)

Prove, by mathematical induction, that
(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)=(2^n)×1×3×5×...×(2n-1)
for all positive integers n.

solution: (by asdfzxc806)
when n=1
LHS=2
RHS=(2)(1)=2
P(1) is true
when n=k+1
LHS=(k+2)(k+3)(k+4)...(2k)(2k+1)(2k+2)
=(2^k)×1×3×5×...×(2k-1)(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=2^(k+1)x1x3x5x...x(2k+1)
RHS=2^(k+1)x1x3x5x...x(2k+1)
P(k+1) is true

Given that a and b are positive integers. By mathematical induction, show that
(a+b)^(2n+1)-a^(2n+1)-b^(2n+1) is divisible by ab(a+b) for all positive integers n.

If it looks too difficult, you may first try the special case a=2, b=3.
52n+1-22n+1-32n+1 is divisible by 30 for all positive integers na

when n=1
P(n)=(a+b)^3-a^3-b^3
=3a^2b+3ab^2
=3ab(a+b)   which is divisible by ab(a+b)
Assume that P(k) is true
i.e. (a+b)^(2k+1)-a^(2k+1)-b^(2k+1)=Mab(a+b)     where M is an integer

[ 本帖最後由 bc123456 於 2010-5-3 12:26 PM 編輯 ]

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 skysiu15 高級學徒 發短消息 加為好友 當前離線 2# 大 中 小 發表於 2010-5-3 09:27 AM (第 3308 天) 只看該作者 真係好終極.... 我a-maths太差~唔識做 樓主有無ans? UID139362 帖子272 精華0 積分32 閱讀權限20 在線時間52 小時 註冊時間2009-12-23 最後登錄2015-7-12  查看詳細資料 TOP
 bc123456 中級學徒 發短消息 加為好友 當前離線 3# 大 中 小 發表於 2010-5-3 09:30 AM (第 3308 天) 只看該作者 有, 遲d先post UID161782 帖子107 精華0 積分9 閱讀權限10 在線時間69 小時 註冊時間2010-4-20 最後登錄2017-4-16  查看詳細資料 TOP
 ktp11364 高級學徒 發短消息 加為好友 當前離線 4# 大 中 小 發表於 2010-5-3 10:33 AM (第 3308 天) 只看該作者 左邊係quadratic equation，右邊係linear equation wo...  L.H.S. = (2^k)(2k-1)(2k+2) R.H.S. = (2^(k+1))(2k+1) 小弟不才，請賜教  UID116869 帖子158 精華0 積分14 閱讀權限20 在線時間182 小時 註冊時間2009-6-18 最後登錄2015-10-24  查看詳細資料 TOP
 death_kg 影子 學院師父 發短消息 加為好友 當前離線 5# 大 中 小 發表於 2010-5-3 10:38 AM (第 3308 天) 只看該作者 見過幾次啦 唔算終極 仲要好似最近先有人問過 UID85637 帖子969 精華0 積分158 閱讀權限40 來自��� 在線時間287 小時 註冊時間2008-10-26 最後登錄2018-3-31  查看詳細資料 TOP
 gameson 高級學徒 發短消息 加為好友 當前離線 6# 大 中 小 發表於 2010-5-3 10:40 AM (第 3308 天) 只看該作者 咁都叫終極? 不是吧 UID120636 帖子161 精華0 積分18 閱讀權限20 在線時間22 小時 註冊時間2009-8-5 最後登錄2015-4-9  查看詳細資料 TOP
##### 引用:

Prove, by mathematical induction, that
(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)=(2^n)×1×3×5×...×(2n-1)
for all positive integers n.
when n=1
LHS=2
RHS=(2)(1)=2
P(1) is true
when n=k+1
LHS=(k+2)(k+3)(k+4)...(2k)(2k+1)(2k+2)
=(2^k)×1×3×5×...×(2k-1)(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=2^(k+1)x1x3x5x...x(2k+1)
RHS=2^(k+1)x1x3x5x...x(2k+1)
P(k+1) is true

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 skysiu15 高級學徒 發短消息 加為好友 當前離線 8# 大 中 小 發表於 2010-5-3 11:00 AM (第 3308 天) 只看該作者 小弟不才..想問下點解RHS=(2)(1)=2? 因為RHS係=(2^n)×1×3×5×...×(2n-1)...如果n=1...RHS點解會係2?...後面X3X5X....唔洗理?定係點? UID139362 帖子272 精華0 積分32 閱讀權限20 在線時間52 小時 註冊時間2009-12-23 最後登錄2015-7-12  查看詳細資料 TOP
when n=1, RHS=(2^1)×(2*1-1)=2
##### 引用:

LHS=(k+2)(k+3)(k+4)...(2k)(2k+1)(2k+2)
=(2^k)×1×3×5×...×(2k-1)(2k+1)(2k+2)/(k+1)

How can you prove???

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 桃子 前輩高人   發短消息 加為好友 當前離線 10# 大 中 小 發表於 2010-5-3 11:10 AM (第 3308 天) 只看該作者 Try this one. Given that a and b are positive integers. By mathematical induction, show that (a+b)2n+1-a2n+1-b2n+1 is divisible by ab(a+b) for all positive integers n. If it looks too difficult, you may first try the special case a=2, b=3. 52n+1-22n+1-32n+1 is divisible by 30 for all positive integers n (a question that appeared in this forum a few times) UID112707 帖子8969 精華0 積分1198 閱讀權限70 在線時間1693 小時 註冊時間2009-5-9 最後登錄2019-5-1  查看詳細資料 TOP
##### 引用:

when n=1
LHS=2
RHS=(2)(1)=2
P(1) is true
when n=k+1
LHS=(k+2)(k+3)(k+4)...(2k)(2k+1)(2k+2)
=(2^k)×1×3×5×...×(2k-1)(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=2^(k+1)x1x3x5x...x(2k+1)
RHS=2^(k+1) ...

(2^k)x1x3x5x...(2k-1)(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=(2^k)x1x3x5...(2k-1)(2k+1)2(k+1)/(k+1)

=(2^k+1)x1x3x5x...(2k-1)(2k+1) [ 本帖最後由 felix139139139 於 2010-5-3 11:40 AM 編輯 ]

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## 回覆 #9 sport 的帖子

LHS=(k+2)(k+3)(k+4)...(2k)(2k+1)(2k+2)
=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)...(2k)(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=(2^k)×1×3×5×...×(2k-1)(2k+1)(2k+2)/(k+1)         (assumption,(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)...(2k)=2k×1×3×5×...×(2k-1) )

[ 本帖最後由 lopo42 於 2010-5-3 11:15 AM 編輯 ]

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## 回覆 #11 felix139139139 的帖子

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##### 引用:

(2^k)x1x3x5x...(2k-1)(2k+1)(2k+2)/(k+1)
=(2^k)x1x3x5...(2k-1)(2k+1)2(k+1)/(k+1)

=(2^k+1)x1x3x5x...(2k-1)(2k+1) 1x3x5x7x9x...x21=1x3x5x7x9x...x19x21

1x3x5x...(2n+1)=1x3x5x...(2n-5)(2n-3)(2n-1)(2n+1)

##### 引用:

Try this one. Given that a and b are positive integers. By mathematical induction, show that
(a+b)2n+1-a2n+1-b2n+1 is divisible by ab(a+b) for all positive integers n.

If it looks too diff ...

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##### 引用:

1x3x5x7x9x...x21=1x3x5x7x9x...x19x21

1x3x5x...(2n+1)=1x3x5x...(2n-5)(2n-3)(2n-1)(2n+1)

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