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[問題] Stat: Moment generating function

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Stat: Moment generating function

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On the condition that M is differentiable at t = 0, then M has to be continuous at t = 0. Thus

lim    M(t)  =   lim    g(t)/t = 1.
t → 0             t → 0

By L'Hôpital's rule, we also know that lim    g''(t) =   lim   g'(t) = 1.
                                                                   t → 0             t → 0
E[X] = M'(0)
        = lim   [M(i) - M(0)]/i
          i → 0
       =  lim   [M(i) - 1]/i
          i → 0
      =   lim    [g(i)/i -1]/i
          i → 0
     =   lim   [g(i) - i]/ i²
         i → 0
     =   lim   g"(i) / 2 (by using L'Hôpital's rule twice)
         i → 0
     = 1/2

[Does (a) ask you to show sth else rather than what you've said here?]

[ 本帖最後由 markckw76 於 2014-2-18 09:07 PM 編輯 ]

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