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[M2] challenging of Inequality (3 questions)

cwk7093942

學院師父

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1^# 大中小發表於 2014-5-11 01:24 PM (第 3632 天) 只看該作者

challenging of Inequality (3 questions)

今次唔放答案啦, 因為好多人為睇答案而作無意義回覆

有興趣就討論一下啦 !!!

Enjoy Math

$\\$Q1.$\\\\ $Prove : $(1+x)^n>1+nx\\\\$for any real number $x>-1$ and for any natural number $n\\\\ ($Hints : using Binomail theorem or Induction or otherwies$)\\\\ $Hence , prove that $\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}>\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n}\\\\ $Q2.$\\\\ $Using MI or otherwise : for $x_i>0$ and $1\leq i\leq n\\\\$Prove : $\left(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \right )^n\geq x_1x_2...x_n\\\\ $Hence , prove that $\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}>\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n}\\\\ $Q3.$\\\\ $Find the sum of infinite series : $1+x+x^2+...\;,\;$for $|x|<1\\\\ $Note that : $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\\\\$Show that : $1+\frac{1}{x}>e^{1/(1+x)}\\\\$Hence , prove that $\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}>\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n}\\\\$

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Simon

潛水大師

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2^# 大中小發表於 2014-5-11 05:23 PM (第 3632 天) 只看該作者

[隱藏]

3 條都係typical question.

【DSE Maths】中大教育文憑 × 數學系畢業◆助你奪*升Lv~
首次以課題分班，10月開班招生，快d黎睇下~

導師簡介：按此進入

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數痴夢王

資深師父

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3^# 大中小發表於 2014-5-12 01:23 PM (第 3631 天) 只看該作者

3. 1+1/x>e^1/(1+x) for x>0?

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cwk7093942

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4^# 大中小發表於 2014-5-12 08:05 PM (第 3631 天) 只看該作者

引用:

原帖由 數痴夢王 於 2014-5-12 01:23 PM 發表
3. 1+1/x>e^1/(1+x) for x>0?

yup , you are right

i missed the condition

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owen_chan2005

高級學徒

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5^# 大中小發表於 2014-5-14 09:21 PM (第 3629 天) 只看該作者

how to prove Q1?

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數痴夢王

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6^# 大中小發表於 2014-5-16 09:48 AM (第 3627 天) 只看該作者

Q1 (1+x)^n>1+nx for any x>-1 and positive integer n>=2

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cwk7093942

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7^# 大中小發表於 2014-5-16 10:22 PM (第 3627 天) 只看該作者

引用:

原帖由 owen_chan2005 於 2014-5-14 09:21 PM 發表
how to prove Q1?

你試左點做??

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jamesbondhksar

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8^# 大中小發表於 2014-5-17 05:59 PM (第 3626 天) 只看該作者

Q1 可唔可以比D提示？

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cwk7093942

學院師父

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9^# 大中小發表於 2014-5-17 06:40 PM (第 3626 天) 只看該作者

你係第一部份想要多d提示？定係第二部份想要提示？

如果係第一部份，你試咗咩方法？

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數痴夢王

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10^# 大中小發表於 2014-5-17 06:55 PM (第 3626 天) 只看該作者

(1+x)^2 = 1+2x+x^2 > 1+2x
P(n) is true for n=2
Assume (1+x)^k > 1+kx
(1+x)^(k+1) = (1+x)^k *(1+x)
               > (1+kx)*(1+x)
            = 1+kx + x + kx^2
               > 1+(k+1)x
P(n) is true for n=k+1
By Mathematical induction, P(n) is true for all positive integers n >=2.

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數痴夢王

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11^# 大中小發表於 2014-5-17 07:01 PM (第 3626 天) 只看該作者

Consider
(1+1/(n+1) ) ^(n+1) /(1+1/n) ) ^n
= (1+1/(n+1) ) *( (n^2+2n)/ (n^2+2n+1))^n
=(1+1/(n+1) ) *( 1-1/ (n^2+2n+1))^n
>((n+2)/(n+1))(1-n/(n^2+2n+1)
= (n+2)(n^2+n+1)/(n+1)^3
= (n^3+3n^2+3n+2)/(n^3+3n^2+3n+1)
>1
Hence (1+1/(n+1) )^(n+1) > (1+1/n) )^n

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cwk7093942

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12^# 大中小發表於 2014-5-17 09:00 PM (第 3626 天) 只看該作者

引用:

原帖由 數痴夢王 於 2014-5-17 07:01 PM 發表
Consider
(1+1/(n+1) ) ^(n+1) /(1+1/n) ) ^n
= (1+1/(n+1) ) *( (n^2+2n)/ (n^2+2n+1))^n
=(1+1/(n+1) ) *( 1-1/ (n^2+2n+1))^n
>((n+2)/(n+1))(1-n/(n^2+2n+1)
= (n+2)(n^2+n+1)/(n+1)^3
= (n^3+3n^2+3n+2)/ ...

good try