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[M2] 幾題積分

cwk7093942

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1^# 大中小發表於 2014-11-23 09:44 PM (第 3461 天) 顯示全部帖子

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原帖由 alexalex731 於 2014-11-23 09:22 PM 發表
做書練習見到呢幾題諗左好耐唔識做
唔阻大家，開門見山直接問

用三角代換求下列不定積分
∫ x (3x²-4)^(1/2) dx
∫ x² / (x²+4) dx
∫ x / (4x²+1) dx

用分部積分法求下列不定積 ...

$\\\int x\sqrt{3x^2-4}\;dx=\frac{1}{6}\int\sqrt{3x^2-4}\;d(3x^2-4)\\\\ \int\frac{x^2}{x^2+4}\;dx=\int\;dx-4\int\frac{1}{x^2+4}\;dx\\\\ \int\frac{x}{4x^2+1}\;dx=\frac{1}{8}\int\frac{1}{4x^2+1}\;d(4x^2+1)\\\\ \int\frac{(x-1)e^x}{x^2}\;dx=\int e^x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \right )\;dx=\int d\left(\frac{e^x}{x} \right )\\\\ \int\tan x\;dx=-\int\frac{1}{\cos x}\;d(\cos x)\\\\ \int x\sec^2x\;dx=\int x\;d(\tan x)-\int\tan x\;dx\\\\ \int x\tan^2x\;dx=\int x(\sec^2x-1)\;dx$

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cwk7093942

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2^# 大中小發表於 2014-11-23 10:51 PM (第 3461 天) 顯示全部帖子

[隱藏]

回覆 3# alexalex731 的帖子

初級的積分問題, 若需要使用3角代換的話

你可以見到如下形式時, 可以去嘗試一下

∫ 1/(x^2 + a^2) dx

∫ 1/(1 - x^2)^0.5 dx

但形如 #1 Q1 , Q3, 請不要急於使用3角代換

因為你會發現兩個多項式之間是相差一個 degree , 你這時反而是要嘗試用多項式去代換

#3 你為何不想用3角代換呢???

以前, 就是一般方法解決不了問題, 數學家才發明3角代換方法

當然, 有些可以有幾種方法去做, 但亦有時只能一種方法 ie. 只能用3角代換

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cwk7093942

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3^# 大中小發表於 2014-11-24 12:23 AM (第 3460 天) 顯示全部帖子

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原帖由 alexalex731 於 2014-11-23 10:12 PM 發表
唔該晒師兄
大致上明白
但如果係
∫ x² / (1-x²)^(1/2)  dx
∫ 1 / x² (x²+12)^(1/2)  dx
∫ x³ (x²-1)^(1/2) dx
∫ 1 /  (x²+4)² dx
呢d唔用三角代換做都得?( ...

明顯下面第2條, 若不用 trigo 方法, 需要更高的技巧及觀察能力 (練習方法就是多做逆運算)

但你還是先多練習正規的方法吧

下面第1條, 打漏個 0.5

$\\\begin{align*}\int x^3\sqrt{x^2-1}\;dx&=\int x(x^2-1+1)\sqrt{x^2-1}\;dx\\&=\int (x^2-1)^{3/2}+(x^2-1)^{1/2}\;d(x^2-1)\\&=... \end{align*}\\\\\begin{align*}\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+12}} &=\int \frac{\sqrt{x^2+12}}{x^2(x^2+12)}\;dx\\&=\frac{1}{12}\int\frac{\sqrt{x^2+12}}{x^2}-\frac{1}{\sqrt{x^2+12}}\;dx\\&=\frac{1}{12}\int\frac{\sqrt{x^2+12}}{x^2}-\frac{2x}{2x\sqrt{x^2+12}} \;dx\\&=\frac{1}{12}\left (\int\sqrt{x^2+12}\;d\left (-\frac{1}{x} \right )+\int\left ( -\frac{1}{x} \right )\;d(\sqrt{x^2+12}) \right )\\&=-\frac{\sqrt{x^2+12}}{12x}+C\end{align*}$

紅色字的兩題, 由於答案都要用 trigo 去表示, 所以必須用 trigo 代換

[ 本帖最後由 cwk7093942 於 2014-11-24 06:43 AM 編輯 ]

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