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[M2] M2 Differentiation 救solution

emmaho211

中級學徒

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1^# 大中小發表於 2015-9-26 11:56 PM (第 3127 天) 只看該作者

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cwk7093942

學院師父

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2^# 大中小發表於 2015-9-27 01:07 AM (第 3126 天) 只看該作者

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引用:

原帖由 emmaho211 於 2015-9-26 11:56 PM 發表

$\\$ if $y=\frac{\cos x}{\sqrt x}$ and $x^2y''+xy'+(x^2-k)y=0$ , find $k\\\\ y'=-\frac{1}{2}x^{-3/2}\cos x-x^{-1/2}\sin x\\\\ \begin{align*}y''&=\frac{3}{4}x^{-5/2}\cos x+\frac{1}{2}x^{-3/2}\sin x+\frac{1}{2}x^{-3/2}\sin x-x^{-1/2}\cos x\\&=\frac{3}{4}x^{-5/2}\cos x+x^{-3/2}\sin x-x^{-1/2}\cos x\end{align*}\\\\\begin{align*}x^2(\frac{3}{4}x^{-5/2}\cos x+x^{-3/2}\sin x-x^{-1/2}\cos x)+x(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\cos x-x^{-1/2}\sin x)+(x^2-k)x^{-1/2}\cos x&=0\\\frac{3}{4}x^{-1/2}\cos x+x^{1/2}\sin x-x^{3/2}\cos x-\frac{1}{2}x^{-1/2}\cos x-x^{1/2}\sin x +x^{3/2}\cos x-kx^{-1/2}\cos x&=0\\(\frac{1}{4}-k)x^{-1/2}\cos x&=0\end{align*}\\\\ $if $x=n\pi-\frac{\pi}{2}$ , then $k$ is any real value$\;,\;n\in\mathbb{Z}\\\\ $if $x\neq n\pi-\frac{\pi}{2}$ , then $k=\frac{1}{4}\;,\;n\in\mathbb{Z}$