1968年，AMaths的Paper 3，也就是一份純Mechanics的卷，正式出現了。

在上一集的一些回覆中，大家都已經知道，考生是可以選答Paper 2，或者是Paper 3，而Paper 1，則是必答的。

當年為甚麼可選答呢？其實，這是建基於一個假設，就是Paper 2的內容與Paper 3有一脈相承之處，而當年的Paper 2涵蓋的是包括了微積分，三角學、代數及坐標幾何。有修讀AL Applied Maths的預科同學就會知道，Mechanics所包含的，就是上述四項的應用層面。

簡單來說，就是Paper 2考的是純數學層面，而Paper 3的則是應用層面。不難發現，這和A-Level的分野差不多，不錯，加入Paper 3的其中一個原因，就是為了令當時恐怖的A-Level變得柔順一些 。
另一個原因，就是當年新數的興起，而加入Mechanics就是為免令數學流於理論。


原因說完了，探索試題吧。

第1題，就是令人心顫抖了一下的題目。

1968 I 1. How many diagonals has a 50-sided polygon? (3 marks)

不錯，這是68年Paper 1的第一題，可要想清楚才答啊。
最古怪的是，Paper 1都竟然有微分和積分的題目，所以現代對Paper 1、2的分野，是不適用於古舊時代的。

在云云古怪題目中，竟然找到一盞明燈。

1968 I 9. Prove by Mathematical Induction that 1 + 2 + 3 + … + n = (n / 2)(n + 1)
              where n is any natural number. (6 marks)

在一道非常standard的MI題目，亦是今日大部分AMaths書MI的第一個例子。
但，亦因為太standard的關係，在七十年代曾與Maths擦出火花。


正如第一集（蘇聯射衛星）所說，AMaths由於背負著歷史的重任，以致出題時，與今天的想法是非常不同的。長題目中，就找到了一個例子。

1968 I 12. Assuming the earth to be a perfect sphere of diameter 7920 miles, find the distance
                apart on a great circle of two places having the same latitude (42^o N) and whose
                longitudes differ by 5^o. (Answer to the nearest mile)

沒想過，長題目可以出得這樣怪吧！AMaths，在早年（六、七十年代）來說，可謂一點也不standard的，幾乎沒有路可循。考生在手的，就只有一堆數學知識，至於怎樣運用，要看老師的功力和自己的造化了 。

一道應在今日短題目的Binomial（二項式），竟在長題目出現：
1968 I 13. In the expansion of (1 + x)^n, the coefficient of x^5 is the arithmetic mean of the
                coefficients of x^4 and x^6. Find the possible values of n.

除了arithemtic mean那裡需要動動腦筋外，其他都是很直截了當的。


接著的Paper 2，今集只會講述短題目的部分。

有兩道今天Maths的simultaneous equations之題，下舉其中一例：

1968 II 8. Solve the simultaneous equations 4/x - 2y + z = 1; 0.5/x - 0.3y + 0.1z = 0;
               1/4x + y/6 + z/3 = 2/3. (6 marks)

這是equation雖牽涉三個variables，但只要小心，其實此六分，是不難拿下的。

還有一道比較有趣的題目：

1968 II 3. Determine, by calculation only, whether the points A (12, -9) and B (-8, 6) are on
               the same side of the line 7x + 9y = 1 or are on opposite sides of it.
               You must explain your answer. (4 marks)
為甚麼要by calculation only呢？這是因為避免考生用畫圖的「屈機」方法去答 ，畫圖的方法，在Maths已經考核了，如果在AMaths再度出現的，就會有雙重考核之嫌了。

最後，送上一道又是standard的題目：

1968 II 7. Prove that the two circles whose equations are
X^2 + y^2 + 14x - 8y + 1 = 0 and x^2 + y^2 - 10x + 2y + 1 = 0, touch each other.


下次再談Paper 2的長題目和Paper 3。

感謝你的文章！！我已經等了一個星期了。

p.s 　50邊形應有1175條對角線。

支持

請問一下1968 I 12.的答案是不是346miles? （問題出得真怪，不知道我計得對不對）

引用:

原帖由 235711 於 2007-6-1 05:10 PM 發表
感謝你的文章！！我已經等了一個星期了。

p.s 　50邊形應有1175條對角線。

點計?

謝謝分享... 支持...

4邊形有2條對角線，4邊形有5條對角線，6邊形有9條對角線，7邊形有14條對角線，看不看到當中的規律？找到規律後很容易就計到了。

引用:

原帖由 235711 於 2007-6-1 05:28 PM 發表
4邊形有2條對角線，4邊形有5條對角線，6邊形有9條對角線，7邊形有14條對角線，看不看到當中的規律？找到規律後很容易就計到了。

Other that observing patterns,
You can calculate it using combinatorics.

Take a point out of the 50 vertex
Each vertex can link to 47 points to join to form a diagonal (since  there are 2 adjacent vertices and that point itself, it gives 50-3 = 47)
However, line is calculated 2 times (to join and to be joined)
so it should be 50*47/2 = 1175

對角線定義係咩?

1968 I 9. Prove by Mathematical Induction that 1 + 2 + 3 + … + n = (n / 2)(n + 1)
              where n is any natural number. (6 marks)

在一道非常standard的MI題目，亦是今日大部分AMaths書MI的第一個例子。
但，亦因為太standard的關係，在七十年代曾與Maths擦出火花。

現在大部分的Amath人都吾識呢
(any natural number)
支持叮噹 !

[ 本帖最後由 johnny138new 於 2007-6-1 06:40 PM 編輯 ]