blazehaze

這次共有七題關於因式分解的題目，由淺入深，由基本到困難。

因式分解技巧：並項法、十字相乘法、長除法、換元法、拆項法。

答案在#8，如有其他妙解／問題，歡迎留言。

1. 因式分解
   (a) x^2 - 5x + 6；
   (b) x^4 - 64；
   (c) xy - 1 - x + y；
   (d) (a-b)^2 - c^2 + 4ab。

2. 因式分解 x^4 + 2x^2y^2 + y^4。

3. 因式分解 (x-5)(x-6)(x-7)(x-8) - 840。

4. 因式分解 x^(2n+1) + x^(2n) + ... + x + 1，其中 n 為正整數。

5. (a) 因式分解 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz。
   (b) 由此，證明若 x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz ，則 x = y = z 或 x + y + z = 0。

6. 因式分解 x^4 + 2x^2 + 9 及 a^4 + 4。

7. 因式分解 (xy - 1)^2 + (x + y - 2)(x + y - 2xy)。


以往題目：
數學難題(1)：
http://lsforum.net/board/thread-201236-1-1.html
數學難題(2)：
http://lsforum.net/board/thread-201281-1-2.html
數學難題(3)：
http://lsforum.net/board/thread-201423-1-2.html
數學難題(4)：
http://lsforum.net/board/thread-201642-1-1.html

[ 本帖最後由 blazehaze 於 2012-6-3 04:28 PM 編輯 ]

火閃電

1a   x^2 - 5x + 6
  =  (x-3)(x-2)

(b)    x^4 - 64
   =(x^2+8)(x^2-8)
  
(c)   xy - 1 - x + y
    = -(1+x)+y(1+x)
   = (1+x)(y-1)

   (d) (a-b)^2 - c^2 + 4ab。
       =(a+b)^2 - c^2
      = (a+b+c)(a+b-c)

小小小人物

勤力做法

7.(xy - 1)^2 + (x + y - 2)(x + y - 2xy)
=x^2y^2-2xy+1+x^2-2x^2y+6xy-2xy^2-2x-2y+y^2
=(x-1)^2(y-1)^2

smartboypm

2)
x^4 + 2x^2y^2 + y^2
=x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - y^2
=(x^2+y^2)^2-y^2
=(x^2+y^2+y)(x^2+y^2-y)

ktszf

引用:

原帖由 smartboypm 於 2012-6-3 12:58 PM 發表
2)
x^4 + 2x^2y^2 + y^2
=x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - y^2
=(x^2+y^2)^2-y^2
=(x^2+y^2+y)(x^2+y^2-y)

明顯地 錯了吧

發.仔

3. 因式分解 (x-5)(x-6)(x-7)(x-8) + 1681。
                  = [(x-6)(x-7)][(x-5)(x-8)] + 1681
                  = (x^2 - 13x + 42)(x^2 - 13x + 40) + 1681
                  = (x^2 - 13x)^2 + (42+40)(x^2 - 13x) + 42x40 + 41^2
                  = (x^2 - 13x)^2 + 2(41)(x^2 - 13x) + 41^2 + 42x40
                  = (x^2 - 13x + 41)^2 + 42x40 ← 點整走呢到?

4. 因式分解 x^(2n+1) + x^(2n) + ... + x + 1，其中 n 為正整數。
                 = [x^n + x^(n-1) + ... + x + 1][x^(n+1) + 1]
咁樣算唔算

5. (a) 因式分解 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz。
                       = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)
    (b) 由此，證明若 x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz ，則 x = y = z 或 x + y + z = 0。
          If   x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz
          then  (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)=0
          (x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)=0               OR               (x+y+z)=0
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz=0
(x^2  - 2xy + y^2) + (x^2 - 2xz + z^2) + (y^2 - 2yz + z^2)=0
                (x-y)^2 + (x-z)^2 + (y-z)^2=0
           ∴ x-y=0 AND x-z=0 AND y-z=0
                           ∴  x = y = z         OR         (x+y+z)=0
    (c) 證明若 x + y + z = 0 ，則 xyz = 0。
         我證唔到，求解。

6. 因式分解 x^4 + 2x^2 + 9 及 a^4 + 4。
    x^4 + 2x^2 + 9
= x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2
= (x^2 + 3)^2 - (2x)^2
= (x^2 +2x +3)(x^2 -2x +3)

    a^4 + 4
= (a^2 +2)^2 - 4a^2
= (a^2 +2a +2)(a^2 -2a +3)

7. 因式分解 (xy - 1)^2 + (x + y - 2)(x + y - 2xy)。
                  = (xy +1)^2 - 4xy + [(x+y)^2 - 2(xy+1)(x+y) + 4xy]
                  = (xy +1)^2 + (x+y)^2 - 2(xy+1)(x+y)
                  = [xy +1 - (x+y)]^2
                  = [(x - 1)(y - 1)]^2

blazehaze

更改事宜：
2. 因式分解 x^4 + 2x^2y^2 + y^2。 -> 2. 因式分解 x^4 + 2x^2y^2 + y^4。
3. 因式分解 (x-5)(x-6)(x-7)(x-8) + 1681。 -> 3. 因式分解 (x-5)(x-6)(x-7)(x-8) - 840。
取消5(c) ，因為命題錯誤

[ 本帖最後由 blazehaze 於 2012-6-3 03:27 PM 編輯 ]

blazehaze

答案

第1題：參考1#

第2題：x^4+2x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2

第3題：參考6#

第4題：
答案一、
x^(2n+1)+x^2n+...+x+1
=x^(2n+1)+x^2n+...+x^(n+1)+x^n+...+x+1
=x^(n+1) (x^n+x^(n-1)+...+x+1)+(x^n+x^(n-1)+...+x+1)
=(x^n+x^(n-1)+...+x+1)(x^(n+1)+1)
答案二、
x^(2n+1)+x^2n+...+x+1
=(x+1)(x^2n+x^2(n-1)+...+x^2+1)

第5題：(a)
解法一、
代入 x=-y-z ，發現 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0，即(x+y+z)是
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz的因子，再用長除，即可得。
解法二、
考慮(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y)^3 + z^3 -3x^2y-3xy^2 - 3xyz
=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
(b)：參考6#

第6題：參考6#

第7題：參考6#

howardc64

For revised Q3, note that 4x5x6x7=-7x-6x-5x-4=840.
1 and 12 must be roots of the quartic eqn.
The expression is divisible by (x-1)(x-12).
Expand and long division.Should get (x^2-13x+70)(x-1)(x-12).


The final answer in a^4+4 is mistyped, should be (a^2-2a+2)(a^2+2a-2).

[ 本帖最後由 howardc64 於 2012-6-3 06:10 PM 編輯 ]